Weibull

Tuulienergiasovellutuksissa tuulen nopeuden jakaumaa (nopeusluokkien frekvenssijakaumaa) kuvataan yleisesti tilastollisella Weibull-jakaumalla. Tuuliatlaksen taulukkotiedostoissa kussakin hilapisteessä tuulen nopeuden keskiarvon lisäksi on annettu jakaumaa kuvaavat Weibull-parametrit A ja k, joiden avulla voidaan laskea erilaisia parametreja. Esimerkiksi WAsP-ohjelmistossa tuulen nopeusjakaumaa kuvataan Weibull-jakaumalla. WAsP:ssa Weibull-jakauman parametrit A ja k muuttuvat korkeutta muutettaessa ja maaston rosoisuuden ja topografian muuttuessa.

Mitatuista tuulennopeuksista voidaan muodostaa tasavälinen histogrammi, joka kertoo kuinka usein tietty tuulen nopeus esiintyy. Koko nopeusjakauman käyttö monissa sovellutuksissa on hankalaa, tai havaintoja on vähän riittävän tilastollisen edustavuuden aikaansaamiseksi, joten tuulennopeusjakaumaa voidaan kuvata jollakin tilastollisella funktiolla.

Kaksiparametrisen Weibull- jakauman tiheysfunktio voidaan esittää muodossa

ks. Yhtälö 1.

jossa u on tuulen nopeus A on skaalausparametri ja k ns. muotoparametri.

Jakauman muoto eräillä k:n arvoilla on esitetty ylimmässä kuvassa. Varjostettu alue (k=2) vastaa Rayleigh-jakaumaa ja laskevan käyrän alue (k=1) eksponentiaalista jakaumaa. Suomen oloissa tuulen nopeuden tyypillisellä frekvenssijakaumalla k~2. A puolestaan on noin 10 - 15 % suurempi kuin nopeusjakaumasta laskettu tuulen keskinopeus.

Weibull-jakauman kertymäfunktiota eli tuulen nopeuden u pysyvyyskäyrää kuvaa yhtälö

ks. Yhtälö 2.

Tuulen nopeuden keskinopeus voidaan laskea yhtälöstä

ks. Yhtälö 3.

jossa Г(n) on yleinen gammafunktio. Gammafunktio voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Arvoilla 1<n<2 gammafunktion arvo on 0,88 -1,0.

Gammafunktion arvot saadaan riittävällä tarkkuudella keskimmäisestä kuvasta, kun 1<n<2. Tarkemmin lasketut arvot on saatavissa kirjallisuudesta.

Tuulen energiasisältö voidaan laskea yhtälöstä

ks. Yhtälö 4.

jossa ρ on ilman tiheys ja Г niin sanotun Gamma-funktion arvo.

On huomattava, että Weibull-jakauma ei täsmällisesti vastaa mittaustuloksista saatavaa nopeusjakaumaa, vaikka havaintojen lukumäärä olisi suurikin. Tästä johtuen todellisesta havaintosarjasta laskettu tuulen energiatiheys (W/m2) ja tuulivoimalalla laskettu tuotto (MWh) voi poiketa huomattavasti aiheena olevaan mittaussarjaan sovitetusta Weibull-jakaumasta Vastaavuuteen vaikuttaa muun muassa tuulenmittauspaikan ympäristöstä ja mittauskorkeudesta.



Weibull-jakauman muoto eräillä k:n arvoilla.



Yhtälö 1.



Gammafunktion arvot saadaan riittävällä tarkkuudella kun 1<n<2.



Yhtälö 2.



Yhtälö 3.



Tuulen nopeuden frekvenssijakauma laskettuna mittauksista luokkavälillä 1 m/s (pylväät) ja kuvattuna mittauksiin sovitetulla Weibull-jakaumalla.



Yhtälö 4.